Question

直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）作垂直于x轴的直线x=p，在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，是否存在着p的值使MN有最大值？若存在求出MN的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的情况下，以B、M、N、D为顶点作平行四边形，求点D的坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=-x+2分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴A（4，0），B（0，2），
又∵抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，
∴c=2，-16+4b+c=0，
∴b=，c=2，
∴y=-x²+x+2；

（2）∵点M在y=-x+2上，
设M（p，-p+1），
∵MN∥y轴且N在y=-x²+x+2上，
∴N（p，-p²+p+2），
∴MN=-p²+p+2-（-p+2）=-p²+4p=-（p-2）²+4，
∴p=2时，MN的最大值是4；

（3）在（2）的情况下，即p=2、MN=4时，
此时B（0，2），M（2，1），N（2，5），
①若BM是平行四边形的边，则BD=MN，
此时点D的坐标为（0，6）或（4，4）；
②若BM是平行四边形的对角线，
设点D的坐标为（x，y），则（2+x，5+y）=（0+2，2+1），
解得：x=0，y=-2
此时点D的坐标为（0，-2）．
综上可得：D₁（4，4）；D₂（0，6）；D₃（0，-2）．
分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线解析式；
（2）设M（p，-p+1），根据MN∥y轴且N在y=-x²+x+2上，可得N（p，-p²+p+2），表示出MN的长度，利用配方法可求出MN的最大值，也可确定此时P的值；
（3）由（2）中求得的p的值，可得出M、N的坐标，分两种情况讨论，①BM是平行四边形的边，②BM是平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质可得出点D的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是掌握平行四边形的性质，能根据已知三点坐标求出第四个顶点的坐标，此题难度较大．