Question

如图1，⊙O′与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、F两点，点D是⊙O′上一点，

DC

=

AC

，A（2，0），C（0，-4）．
（1）求圆心O′的坐标；
（2）如图2，连DC，过A作AE⊥DC于E，求AE的长；
（3）如图3，在BC上取点M，使CM=AC，DM的延长线交⊙O′于N，求证：MN=

5

2

MD．

Answer 1

分析：（1）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再根据相交弦定理列式计算求出OB的长，然后求出⊙O′的半径，再求出OO′的长，最后写出点O′的坐标即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠ACO，利用勾股定理列式求出AC，再根据等弧所对的弦相等求出CD，然后根据△ACO和△ADE相似，利用相似三角形对应边成比例列式用AE表示出CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理列式计算即可得解；
（3）连接CD、BN，过点D作DP∥BC于⊙O′相交于点P，可得

PB

=

CD

=

AC

，根据等弧所对的弦相等可得AC=CD，从而得到CD=CM，再根据等边对等角可得∠CDM=∠CMD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CMD=∠PDM，从而得到∠PDM=∠CDM，然后求出

PBN

=

CAN

，再求出

BN

=

AN

，即点N为半圆BNA的中点然后求出MN=BN=5

2

，再利用勾股定理列式求出BC，然后求出BM，然后利用△CDM和△NBM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DM，相比即可得证．

解答：（1）解：∵A（2，0），C（0，-4），
∴OA=2，OC=4，
∵AB⊥CF，
∴OA•OB=OC²，
即2•OB=4²=16，
解得OB=8，
∴⊙O′的直径=2+8=10，半径=

1

2

×10=5，
∴OO′=5-2=3，
∴点O′的坐标为（-3，0）；

（2）解：∵AB⊥CF，
∴

AC

=

AF

，
∴∠D=∠ACO，
在Rt△AOC中，由勾股定理得，AC=

22+42

=2

5

，
∵

DC

=

AC

，
∴CD=AC=2

5

，
∵AE⊥DC，
∴∠E=90°，
∴∠E=∠AOC=90°，
∴△ACO∽△ADE，
∴

OA

AE

=

OC

DE

，
即

2

AE

=

4

2 5 +CE

，
∴CE=2AE-2

5

，
在Rt△ACE中，AE²+CE²=AC²，
即AE²+（2AE-2

5

）²=2

5

²，
解得AE=0（舍去），AE=

8 5

5

；

（3）证明：如图，连接CD、BN，过点D作DP∥BC于⊙O′相交于点P，
∵

DC

=

AC

，
∴

PB

=

CD

=

AC

，
∴AC=CD，
∵CM=AC，
∴CD=CM，
∴∠CDM=∠CMD，
∵DP∥BC，
∴∠CMD=∠PDM，
∴∠PDM=∠CDM，
∴

PBN

=

CAN

，
∵

BN

=

PBN

-

PB

，

AN

=

CAN

-

AC

，
∴

BN

=

AN

，
∴点N为半圆BNA的中点，
∴BN=5

2

，
∵∠CBN=∠CDM，∠BMN=∠CMD，
∴∠CBN=∠BMN，
∴MN=BN=5

2

，
在Rt△BOC中，BC=

OB2+OC2

=

82+42

=4

5

，
∴BM=BC-CM=4

5

-2

5

=2

5

，
∵∠CDM=∠CBN，∠CMD=∠BMN，
∴△CDM∽△NBM，
∴

DM

BM

=

CD

BN

，
即

DM

2 5

=

2 5

5 2

，
解得DM=2

2

，
∴

MN

DM

=

5 2

2 2

，
MN=

5

2

DM．

点评：本题是圆的综合题型，主要利用了相交弦定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等以及平行弦所夹的互相等的性质，（2）利用AE表示CE是解题的关键；（3）作平行线并求出点N是半圆BNA的中点的关键，也是本题的难点．