Question

如图：⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF，BE的长是方程x²-13x+30=0的两根，则△ABC的面积为________．

Answer 1

30
分析：求△ABC的面积，关键是求出两条直角边的长；由已知的方程可求出AF、BE的长，结合切线长定理和勾股定理，可求得CE、CF的长，进而可求出AC、BC的长；根据直角三角形的面积公式即可求出其面积．
解答：如图；
解方程x²-13x+30=0，得：
x₁=10，x₂=3，
∴AD=AF=10，BD=BE=3；
设CE=CF=x，则AC=10+x，BC=3+x；
由勾股定理，得：
AB²=AC²+BC²，即13²=（10+x）²+（3+x）²，
解得：x=2（负值舍去），
∴AC=12，BC=5；
因此S_△ABC=AC•BC=×5×12=30．
故答案为：30．
点评：本题主要考查的是三角形内切圆的性质、切线长定理、勾股定理、直角三角形的面积公式等知识．