Question

已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是∠A，∠B，∠C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点．

Answer 1

分析：先证明AX，BY必相交于一点，设此点为I，由内心的性质，得I与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，则I与AC，BC边等距，所以AX，BY，CZ相交于一点．

解答：证明：∵AX，BY是∠A，∠B的平分线，
∴AX，BY必相交于一点，设此点为I（不然的话，AX，BY必平行，则∠BAX+∠YBA=180°，这是不可能的），
∴I与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，
∴I与AC，BC边等距，
∴I必在CZ上，
∴AX，BY，CZ相交于一点．

点评：若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点．
由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心．