Question

5．设a、b为x²+x-2011=0的两个实根，则a³+a²+3a+2014b=-2014．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程的解的定义得到a²+a-2011=0，则a²+a=2011，再利用因式分解的方法变形得到a³+a²+3a+2014b=2014（a+b），然后根据根与系数的关系得a+b=-1，再利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵a为x²+x-2011=0的根，
∴a²+a-2011=0，
∴a²+a=2011，
∴a³+a²+3a+2014b=a（a²+a）+3a+2014b
=2011a+3a+2014b
=2014（a+b），
∵a、b为x²+x-2011=0的两个实根，
∴a+b=-1，
∴a³+a²+3a+2014b=-2014．
故答案为-2014．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解的定义．