Question

如图，以BC为直径作Rt△ABC的外接圆，圆心为点P，在△ABC的同侧又作正方形BCEF，BE、CF交于点为O，连接AO．


（1）求证：点O在⊙P上且∠BAO=135°；
（2）如果AB=2，AO=4

2

，求BO及AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OP．
∵四边形BCEF是正方形，


∴BE⊥CF，OB=OC．
∵P是BC的中点，
∴OP=

1

2

BC．
∵BC是圆的直径，
∴点O在圆上．
∴∠BAO=90°+45°=135°．

（2）过O作OK⊥BA延长线于K．
∵AO=4

2

，


∴∠BAO=135°，
∴∠OAK=45°，
∴AK=OK=4．
根据勾股定理，得
BO=2

13

，
∴AC=10．