Question

如图，矩形OBCD的边OB=2，OD=4，过点B、C且与x轴相切于点A的⊙M，与y轴的另一交点为E．
（1）求点A、E的坐标；
（2）求过A、C、E三点的抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）连接AM并延长AM交BC于F，
由于OD与圆M相切于A，因此AF⊥OD．
∵BC∥OD，
∴AF⊥BC
∴BF=FC=OA=AD=2，
即A点的坐标为（2，0）
连接CE、AE、AC，
∵∠EBC=90°，
∴CE是圆M的直径，
∴∠EAC=90°，
可得△OEA∽△DAC，
∴，
OE=OD•OA÷CD=，
因此E点的坐标为（0，）．

（2）已知A，C，E的坐标分别为（2，0），（4，2），（0，）．
可设过这三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+，
则有，
解得，
因此抛物线的解析式为y=x²-x+．
分析：（1）可连接AM并延长AM交BC于F，那么不难得出AF⊥BC，根据垂径定理可知BF=OA=2，由此可求出A点的坐标．
求E点坐标，关键是求OE的长，可连接CE，AE，AC，由于∠EBC=90°，因此CE必过圆心M，则∠EAC=90°，因此可通过相似三角形OEA和DAC来求出OE的长，即可得出E点的坐标．
（2）根据A、C、E的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
点评：本题主要考查了矩形的性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的应用以及二次函数解析式的确定等知识点，综合性较强．