Question

如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC、BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置上时，图中两个弯月形AEC和BFC的面积之和最大？

Answer 1

解：∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形，
根据勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
S_阴影=S_半圆AEC+S_半圆BCF+S_△ABC-S_半圆ACB
=•π+•π+AC•BC-•π
=（AC²+BC²-AB²）+AC•BC
=AC•BC，
则当C为中点时，AC=BC，此时阴影部分面积最大．
分析：由AB为半圆的直径，利用圆周角定理得到∠ACB为直角，可得出三角形ACB为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，阴影部分的面积=半圆AEC的面积+半圆BCF的面积+直角三角形ABC的面积-半圆ACB的面积，由AC，BC及AB分别为三半圆的直径，利用圆的面积公式及直角三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，整理后将得出的关系式代入，可得出AC=BC时，阴影部分面积最大，此时C为弧AB的中点．
点评：此题考查了勾股定理，圆周角定理，圆面积求法，以及阴影部分面积的求法，熟练掌握定理是解本题的关键．