Question

如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF为等边三角形．
（1）求∠A的度数；
（2）求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．易得△BGE∽△AHG，若设BG=x，GE=y，则EH=5y，AH=5x，
在△FGE和△DEH中根据勾股定理可以用x，y表示出EF，ED．此时得到一个方程组，解出x，y的值就不难得到∠A的度数；
（2）在直角△AHE中根据三角函数可以求出高EH．则得到菱形的高GH的长，根据菱形的面积公式就可以求出．

解答：解：（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．
∵AD∥CB，
∴△BGE∽△AHE，
∵AB=AD=6，
∴AE=BF=5，CF-BE=1，
令BG=x，GE=y，
则EH=5y，AH=5x，
在△FGE中，EF=

(5+x)2+y2

，
在△DEH中，ED=

(6-5x)2+25y2

，
根据EF=ED，BE=1，易得EF²=ED²，
即有

(5+x)2+y2=(6-5x)2+25y2 x2+y2=1

，
解得x=

1

2

，y=

3

2

，
∴tan∠A=

EH

AH

=

y

x

=

3

，
∴∠A=60°；

（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=

5 3

2

，EG=

3

2

，GH=3

3

，
故S菱形ABCD=AD•GH=18

3

．

点评：在解直角三角形的一个角的度数时，可以转化为求三角函数的值，已知三角函数值就可以求出角的度数．