Question

如图，已知直线l：y=﹣2x+12交x轴于点A，交y轴于点B，点C在线段OB上运动（不与O、B重合），连接AC，作CD⊥AC，交线段AB于点D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当点D的纵坐标为8时，求点C的坐标；
（3）过点B作直线BP⊥y轴，交CD的延长线于点P，设OC=m，BP=n，试求n与m的函数关系式，并直接写出m、n的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵y=﹣2x+12交x轴于点A，交y轴于点B，
∴y=0时，x=6，
∴点A坐标为：（6，0）；x=0时，y=12，
∴点B坐标为：（0，12）
（2）过点D作DN⊥BO，
∵点D的纵坐标为8，
∴点D的横坐标为：8=﹣2x+12， 解得：x=2，
∴点D的坐标为：（2，8）； 设CO=x，
∴CN=8﹣x，AO=6，DN=2，
∵CD⊥AC，
∴∠NCD+∠OCA=90°，
∵∠CAO+∠OCA=90°，
∴∠CAO=∠NCD，
∵∠COA=∠DNC=90°，
∴△COA∽△DNC，
∴，
∴，解得：x₁=2，x₂=6，
∴点C的坐标为：（0，2），（0，6）；
（3）过点B作直线BP⊥y轴，交CD的延长线于点P，
∵∠NCD=∠CAO，∠COA=∠CBP，
∴△COA∽△PBC，
∴=，当点C的坐标为：（0，2），则BC=10，CO=2，
∴=，
∴nm=20，
∴n=，当点C的坐标为：（0，6），则BC=6，CO=6，
∴=，
∴mn=36，
∴n=，（0＜n≤6，0＜m＜12）．