Question

1．如图，△ABC中，AB=5，BC=11，AC=4$\sqrt{5}$，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC．
（1）设BP=x，△PNC的面积为y，试求y关于x的函数解析式；
（2）若NP=NC，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，NQ⊥BC于Q，利用勾股定理得到5²-BH²=（4$\sqrt{5}$）²-（11-BH）²，解得BH=3，则AH=4，再根据旋转的性质得∠APN=90°，PN=$\frac{1}{2}$AP，接着证明Rt△APH∽Rt△PNQ，利用相似比可得NQ=$\frac{1}{2}$PH，然后分类讨论：3＜x＜11时，如图1，PH=x-3，则HQ=$\frac{1}{2}$（x-3），利用三角形面积公式可表示出y与x的关系式；当0≤x＜3时，如图2，PH=3-x，则HQ=$\frac{1}{2}$（3-x），利用三角形面积公式可表示出y与x的关系式；
（2）由于Rt△APH∽Rt△PNQ，利用相似比得PQ=$\frac{1}{2}$AH=2，再根据等腰三角形的性质得PQ=CQ=2，于是得到11-x=4，然后解方程求出x即可得到BP的长．

解答 解：作AH⊥BC于H，NQ⊥BC于Q，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=5²-BH²，
在Rt△ACH中，AH²=AC²-CH²=（4$\sqrt{5}$）²-（11-BH）²，
∴5²-BH²=（4$\sqrt{5}$）²-（11-BH）²，解得BH=3，
∴AH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，
∴∠APN=90°，PN=PM=$\frac{1}{2}$AP，
∴∠APH+∠NPQ=90°，
∵∠APH+∠PAH=90°，
∴∠PAH=∠NPQ，
∴Rt△APH∽Rt△PNQ，
∴$\frac{NQ}{PH}$=$\frac{AP}{PN}$=2，
即NQ=$\frac{1}{2}$PH，
当3＜x＜11时，如图1，PH=x-3，则HQ=$\frac{1}{2}$（x-3），
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（x-3）•（11-x）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{7}{2}$x-$\frac{33}{4}$；
当0≤x＜3时，如图2，PH=3-x，则HQ=$\frac{1}{2}$（3-x），
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（3-x）•（11-x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{7}{2}$x+$\frac{33}{4}$；
（2）∴Rt△APH∽Rt△PNQ，
∴$\frac{AH}{PQ}$=$\frac{AP}{PN}$=2，
∴PQ=2，
∵NP=NC，
∴PQ=CQ=2，
∴11-x=4，解得x=7，
即BP的长为7．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．计算BC边上的高和构建相似三角形是解决本题的关键．