Question

如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x²-mx+n．方程x²-mx+n=0的两根倒数和为-4．
（1）求n的值；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF为直径的圆恰好与x轴相切？若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，设A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，n）
∵OA=-x₁，OB=x₂，又CO⊥AB，
∴CO²=AO•OB，
即n²=-x₁x₂；
又∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的两根，
∴x₁+x₂=n，
∴n²=-n，
∴n₁=-1，n₂=0（舍去），
∴n=-1．

（2）∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的两根，
∴x₁+x₂=m．
又∵n=-1，
∴x₁x₂=-1，
∴+===-4，
∴m=4，
∴所求抛物线的关系式为y=x²-4x-1．
（3）存在，设满足条件的圆的半径为|r|，
∵y=x²-4x-1．
=（x-2）²-5，
抛物线对称轴为x=2，
根据圆和抛物线的对称性可知：圆心在抛物线的对称轴上，
∴E的坐标为（2+|r|，r），
∵点E在抛物线上，
∴r=（2+|r|-2）²-5，
即：r²-r-5=0，
解得：r=或，
∴存在此线段EF为直径的圆恰好与x轴相切，此圆的半径为或．
分析：（1）由于AB是圆的直径，根据相交弦定理的推论可得OC²=OA•OB，若设A（x₁，0），B（x₂，0），那么n²=-x₁x₂，根据根与系数的关系知x₁x₂=n，联立两式即可求得n的值．
（2）根据韦达定理可求得方程的两根之和与两根之积，即可表示出它们的倒数和，已知了倒数和为-4，即可求得m的值，由此确定抛物线的解析式．
（3）可假设存在这样的点E、F，设以线段EF为直径的圆的半径为|r|，那么可用半径|r|表示出E，F两点的坐标，然后根据E，F在抛物线上，将E，F的坐标代入抛物线的解析式中，可得出关于|r|的方程，如果方程无解则说明不存在这样的E，F点，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F两点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、根与系数的关系、抛物线与圆的对称性等知识，综合性强，难度较大．