Question

如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BE⊥CD于E交AD的延长线于F，DC=2AD，AB=BE．
（1）求证：AD=DE；
（2）判断四边形BCFD的形状并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠DEB=90°，
∴∠A=∠DEB=90°，
∵AB=BE，BD=BD，
∴△BDA≌△BDE，
∴AD=DE；

（2）解：四边形BCFD是菱形．理由如下：
∵AD=DE，DC=DE+EC=2AD，
∴DE=EC，
又∵AD∥BC，
∴∠DFE=∠CBE，
又∵∠DEF=∠CEB，
∴△DEF≌△CEB，
∴DF=BC，
∴四边形BCFD为平行四边形，
又∵BE⊥CD，
∴四边形BCFD是菱形．
分析：（1）结合已知条件，利用HL可证△BDA≌△BDE，从而有AD=DE；
（2）利用AD=DE，DC=DE+EC=2AD，可证DE=EC，而AD∥BC，利用平行线的性质可知∠DFE=∠CBE，再利用对顶角相等，可得∠DEF=∠CEB，利用AAS可证△DEF≌△CEB，于是有DF=BC，而AD∥BC，那么四边形BCFD是平行四边形，又DC⊥BF，从而可判定四边形BCFD是菱形．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、菱形的判定．解题的关键是证明△BDA≌△BDE和△DEF≌△CEB．