Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面积。

Answer 1

解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP，
∵AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ=2AP=2，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵AQ：AP=2：1，
∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，
∴PQ===3，
∴BP²=25=BQ²+PQ²，
∴∠BQP=90°
作AM⊥BQ于M，由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，
∴∠AQM=60°，QM=，AM=3，
AB²=BM²+AM²=（4+）²+32=28+8
∴S△ABC=ABACsin60°=AB²=。