如图.Rt△ABC中.AC=BC=8.∠ACB=90°.F为直角边BC上一点.将纸片沿F点折叠后点B恰与BC中点D重合.得到折痕EF.连接DE.再展开还原后沿DE剪开得到四边形ACDE.然后把四边形ACDE从E点开始沿射线EB平移.当A点与B点重合时停止．设平移时间为t秒.移动速度为每秒1个单位长度.平移过程中四边形A1C1D1E1与△DEB重叠的面积为S．(1)求DE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．如图，Rt△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，F为直角边BC上一点，将纸片沿F点折叠后点B恰与BC中点D重合，得到折痕EF（E在AB边上），连接DE，再展开还原后沿DE剪开得到四边形ACDE，然后把四边形ACDE从E点开始沿射线EB平移，当A点与B点重合时停止．设平移时间为t秒（t＞0），移动速度为每秒1个单位长度，平移过程中四边形A₁C₁D₁E₁与△DEB重叠的面积为S．

（1）求DE的长；
（2）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）若四边形ACDE平移时，另有一动点P与四边形ACDE同时出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度从点B出发沿折线BC-CA运动，求出当t为何值时，△PE₁E为等腰三角形？

分析（1）根据折叠后BF与FD所在直线重合，推出EF⊥BD，BF=DF，BD=DC=4，然后在Rt△BDE中，求出DE的值是多少即可．
（2）首先根据题意，分四种情况：①当0≤t≤2$\sqrt{2}$时；②当2$\sqrt{2}$＜t≤4$\sqrt{2}$时；③当4$\sqrt{2}$＜t≤6$\sqrt{2}$时；④当6$\sqrt{2}$＜t≤8$\sqrt{2}$时；然后根据梯形、三角形的面积的求法，分类讨论，求出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围即可．
（3）根据题意，分三种情况：①当PE₁=EE₁时；②当PE=PE₁时；③当PE=EE₁时；然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，求出当t为何值时，△PE₁E为等腰三角形即可．

解答解：（1）∵Rt△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵沿EF折叠后BF与FD所在直线重合，
∴EF⊥BD，且BF=DF，
∴∠EDF=∠EBF=45°，
∴DE=BE且∠DEB=180°-45°-45°=90°，
又∵BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×8=4$，
∴DE=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．

（2）①如图1，
，
当0≤t≤2$\sqrt{2}$时，
EE₁=t，BE₁=E₁Q=2$\sqrt{2}$-t，
∴S=${S}_{△BDE}{-S}_{B{QE}_{1}}$
=2$\sqrt{2}×2\sqrt{2}÷2$-（2$\sqrt{2}$-t）×（2$\sqrt{2}$-t）÷2
=4-（$\frac{1}{2}$t²-2$\sqrt{2}$t+4）
=-$\frac{1}{2}$t²+2$\sqrt{2}$t

②如图2，
，
当2$\sqrt{2}$＜t≤4$\sqrt{2}$时，
S=S_△BDE=2$\sqrt{2}×2\sqrt{2}÷2$=4．

③如图3，
，
当4$\sqrt{2}$＜t≤6$\sqrt{2}$时，
∵A₁E=AE-AA₁=8$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$-t=6$\sqrt{2}$-t，
∴DQ=DE-QE=DE-A₁E=2$\sqrt{2}$-（6$\sqrt{2}$-t）=t-4$\sqrt{2}$，
∴S=S_△BDE-S_△DPQ
=2$\sqrt{2}×2\sqrt{2}÷2$-（t-4$\sqrt{2}$）×$\frac{1}{2}$（t-4$\sqrt{2}$）÷2
=4-（$\frac{1}{4}$t²-2$\sqrt{2}$t+8）
=-$\frac{1}{4}$t²+2$\sqrt{2}$t-4

④如图4，
，
当6$\sqrt{2}$＜t≤8$\sqrt{2}$时，
∵A₁B=AB-AA₁=8$\sqrt{2}$-t，
∴S=S_△A₁BQ=（8$\sqrt{2}$-t）×$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-t）÷2=$\frac{1}{4}$t²-4$\sqrt{2}$t+32
综上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{2}t}^{2}+2\sqrt{2}t，0≤t≤2\sqrt{2}}\\{4，2\sqrt{2}＜t≤4\sqrt{2}}\\{-{\frac{1}{4}t}^{2}+2\sqrt{2}t-4，4\sqrt{2}＜t≤6\sqrt{2}}\\{{\frac{1}{4}t}^{2}-4\sqrt{2}t+32，6\sqrt{2}＜t≤8\sqrt{2}}\end{array}\right.$

（3）①如图5，当PE₁=EE₁时，
，
当点E移动到BE的中点时，点P和点F重合，
此时PE₁=EE₁=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴t=$\sqrt{2}$．

②如图6，当PE=PE₁时，作PF⊥AB于点F，
，
∵PE=PE₁，PF⊥AB，
∴F是EE₁的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$EE₁=$\frac{1}{2}t$，BF=2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$t，
∵∠B=45°，
∴BP=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$t），
又∵BP=$\sqrt{2}$t，
∴$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$t）=$\sqrt{2}$t，
解得t=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

③如图7，当PE=EE₁时，
，
∵PE=EE₁=t，PB=$\sqrt{2}$t，
∴${PE}^{2}{+{EE}_{1}}^{2}{=t}^{2}{+t}^{2}={2t}^{2}$，${PB}^{2}{=（\sqrt{2}t）}^{2}={2t}^{2}$，
∴${PE}^{2}{+{EE}_{1}}^{2}{=PB}^{2}$，
∴点E₁和点B重合，点P和点D重合，
∴t=2$\sqrt{2}$．
综上，可得
当t为$\sqrt{2}$、$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$时，△PE₁E为等腰三角形．

点评（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了分段函数的知识，二次函数的综合运用，解答此题的关键是根据题意画出相应的辅助线，不要漏解．

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