Question

已知：如图，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：
（1）∠C=72°，
（2）BD是∠ABC的平分线，
（3）△ABD是等腰三角形，
（4）△BCD∽△ABC，
其中正确的有

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

A
分析：由AB=AC，∠A=36°，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°；再根据垂直平分线的性质得到DA=DB，则△ABD是等腰三角形；于是∠ABD=∠A=36°，可计算出∠CBD=72°-∠ABD=36°，得到BD是∠ABC的平分线，由相似三角形的判定方法可知（4）是正确的．
解答：∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°，所以（1）正确；
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形，所以（3）正确；
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠CBD=72°-∠ABD=36°，
∴BD是∠ABC的平分线，所以（2）正确．
∵∠C=∠C，∠CBD=36°，∠A=36°，
∴△BCD∽△ABC，所以（4）正确．
所以正确的结论有4个．
故选A．
点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理和相似三角形的判定．