Question

如图，直线y=x-1和抛物线y=x²+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求不等式x²+bx+c＜x-1的解集（直接写出答案）．
（3）设直线AB交抛物线对称轴与点D，请在对称轴上求一点P（D点除外），使△PBD为等腰三角形．（直接写出点P的坐标，不写过程）

Answer 1

解：（1）将A（1，0），B（3，2）代入抛物线y=x²+bx+c中，
得，
解得，
所以，抛物线解析式为y=x²-3x+2；

（2）由图象可知，当x²-3x+2＜x-1时，1＜x＜3，
即不等式x²+bx+c＜x-1的解集为1＜x＜3；

（3）符合条件的P点坐标为：（，+），（，-），（，2），（，）．
分析：（1）将A（1，0），B（3，2）代入抛物线y=x²+bx+c中，列方程组求b、c的值即可；
（2）由直线y=x-1和抛物线y=x²+bx+c的交点坐标及两图象的位置可求不等式x²+bx+c＜x-1的解集；
（3）由抛物线解析式可知对称轴为x=，将对称轴代入直线y=x-1中，可求D点坐标，根据B、D两点坐标求线段BD的长，再分别以B、D为圆心，BD为半径画弧，与对称轴相交，作线段BD的垂直平分线，与对称轴相交，这些交点即为所求P点坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用待定系数法求二次函数解析式，确定抛物线的对称轴，结合图象的位置及等腰三角形的性质解题．