Question

（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=CD，CF⊥DE，垂足为F．试说明AD与CF是否相等，并说明理由．
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，CE⊥AC且与AB的延长线交于点E．试说明四边形AECD是等腰梯形．

                                                

                            图1                                        图2                                     图3

Answer 1

解：（1）AF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，
∵∠ADF=∠ADC，∠CBE=∠ABC，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB，∠A=∠C，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠ADF=∠CBE，
∴AF=CE；
（2）AD=CF．证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AED=∠FDC，∠A=90°，
在△ADE和△FCD中，
∵∠CFD=∠A=90°，DE=CD，∠AED=∠FDC，
∴△ADE≌△FCD，
∴AD=CF；
（3）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，
∵AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠CAE=∠DAB=30°．
∵CE⊥AC，
∴∠E=90°﹣∠CAE=90°﹣30°=60°，
∴∠DAB=∠E，
∵∠DAB=∠E，AB∥CD，
∴四边形AECD是等腰梯形．