Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，并且经过（-2，-5）和（5，-12）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C 点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；
（3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值即可；
（2）根据抛物线解析式求出与x轴、y轴的交点，根据相似三角形的性质列出比例式，结合勾股定理解答即可；
（3）画出图形，根据平行四边形的性质即可得到M点的坐标．
解答：解：（1）由题意，得，
解这个方程组，得，（1分）
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．（2分）

（2）令y=0，得-x²+2x+3=0．
解这个方程，得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°．
∴．
过点D作DE⊥x轴于点E．
∵∠OBC=45°，
∴BE=DE．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠ABC=∠OBD，则只需或成立．
若成立，
则有．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得．
∴．
∴．
∴点D的坐标为．（4分）
若成立，则有．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得．
∴BE=DE=2．
∴OE=OB-BE=3-2=1．
∴点D的坐标为（1，2）．（5分）
∴点D的坐标为或（1，2）；

（3）点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．（8分）
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象与x轴、y轴交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法，画出相关图形，是解题必不可少的环节．