Question

如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°，以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O
与EC相切，D为切点，AD∥BC。
（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写做法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1， tan∠DAC=，求BC的长。

Answer 1

解：（1）提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等；
（2）证明:连结OD， ∵AD∥BC，∠B=90°， ∴∠EAD=90°， ∴∠E+∠EDA=90°， 即∠E=90°-∠EDA， 又圆O与EC相切于D点， ∴OD⊥EC， ∴∠EDA+∠ODA=90°， 即∠ODA=90°-∠EDA， ∴∠E=∠ODA， 又OD=OA， ∴∠DAC=∠ODA， ∴∠DAC=∠E， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴∠E=∠ACB；
（3）Rt△DEA中，tan∠E=， 又tan∠E=tan∠DAC=， ∵AD=1 ∴EA=， Rt△ABC中，tan∠ACB=， 又∠DAC=∠ACB， ∴tan∠ACB=tan∠DAC， ∴， ∴可设， ∵AD∥BC， ∴Rt△EAD∽Rt△EBC， ∴， 即，  ∴x=1， ∴。