Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，
∴，解得a=，b=，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x²+x+3；
其对称轴为：x=-=1．

（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，
可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点．
如答图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，
则MA+MB=MA+MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小．
设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（4，0），C（0，3），
∴，解得k=，b=3，
∴直线AC的解析式为：y=x+3，
令x=1，得y=，
∴M点坐标为（1，）．

（3）结论：存在．
如答图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP₁，此时梯形为ABCP₁．
由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P₁即为所求．
抛物线解析式为：y=x²+x+3，令y=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴P₁（-2，0）．
∵P₁A=6，BC=2，
∴P₁A≠BC，
∴四边形ABCP₁为梯形；
②若AB∥CP₂，此时梯形为ABCP₂．
设CP₂与x轴交于点N，
∵BC∥x轴，AB∥CP₂，
∴四边形ABCN为平行四边形，
∴AN=BC=2，
∴N（2，0）．
设直线CN的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得k=，b=3，
∴直线CN的解析式为：y=x+3．
∵点P₂既在直线CN：y=x+3上，
又在抛物线：y=x²+x+3上，
∴x+3=x²+x+3，化简得：x²-6x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴点P₂横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为-6，∴P₂（6，-6）．
∵?ABCN，
∴AB=CN，而CP₂≠CN，
∴CP₂≠AB，
∴四边形ABCP₂为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（-2，0）或（6，-6）．
分析：（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式x=-求出对称轴；
（2）如答图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而求出点M的坐标；
（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：
①若BC∥AP₁，确定梯形ABCP₁．此时P₁为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P₁的坐标；
②若AB∥CP₂，确定梯形ABCP₂．此时P₂位于第四象限，先确定CP₂与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P₂的坐标．
点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、轴对称-最短路线问题以及梯形的定义与应用等知识点，属于代数几何综合题，有一定的难度．第（3）问为存在型问题，注意P点不止一个，此处为易错点．