Question

如图，直线y＝－x＋4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外)，过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

(1)当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；

(2)当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

(3)当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a(0＜a＜4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x＋4(0＜x＜4，x＞0，－x＋4＞0)； 　　则：MC＝|－x＋4|＝－x＋4，MD＝|x|＝x； 　　∴C四边形OCMD＝2(MC＋MD)＝2(－x＋4＋x)＝8 　　∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8； 　　(2)根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝(－x＋4)·x＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4 　　∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0＜x＜4)的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4； 　　(3)如图，当0＜a≤2时，； 　　如图，当2≤a＜4时，； 　　∴S与a的函数的图象如下图所示：