Question

（1）如图（1），△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA=PB+PC；
（2）如图（2），四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA=PC+PB
（3）如图（3），六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明。

Answer 1

证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE， ∵∠1=∠2=60°，∠3=∠4=60°， ∴∠CPE=60°， ∴△PCE是等边三角形， ∴CE=PC，∠E=∠3=60°， 又∵∠EBC=∠PAC， ∴△BEC≌△APC， ∴PA=BE=PB+PC；
（2）证明：过点B作BE⊥PB交PA于E， ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 又∵∠APB=45°， ∴BP=BE， ∴PE=  又∵AB=BC， ∴△ABE≌△CBP， ∴PC=AE， ∴PA=AE+PE=PC+；
（3）PA=PC+， 证明：在AP上截取AQ=PC，连接BQ， ∵∠BAP=∠BCP，AB=BC， ∴△ABQ≌△CBP， ∴BQ=BP， 又∵∠APB=30°， ∴PQ= ∴PA=PQ+AQ=+PC。