Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
（1）求点A，B的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M（m，0）是OB上的一个动点，直线ME⊥x轴，交BC于E，交抛物线于点F，求当EF的值最大时m的值．

Answer 1

解：（1）令y=0，则-x-4=0，
整理得，x²-6x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=8，
所以，点A（-2，0），B（8，0）；

（2）△ABC是直角三角形．
理由如下：x=0时，y=-4，
所以，点C（0，-4），
根据勾股定理，AC²=OA²+OC²=2²+4²=20，
BC²=OB²+OC²=8²+4²=80，
∴AC²+BC²=20+80=100，
∵AB²=（8+2）²=100，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B（8，0），C（0，-4），
∴，
解得，
所以，直线BC的解析式为y=x-4，
∵点M（m，0），
∴EF=m-4-（-m-4）=-+2m=-（m-4）²+4，
∴当m=4时，EF的值最大，为4．
分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到A、B的坐标；
（2）根据抛物线解析式求出点C的坐标，再根据勾股定理求出AC、BC的长，然后利用勾股定理逆定理解答；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出EF的长，再根据二次函数的最值问题解答．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点的求解，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，综合题，但难度不大，（3）用m表示出EF的长度是解题的关键．