Question

如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，N、M分别为AC、BD的中点，
求证：（1）MN∥BC；（2）MN=（BC-AD）．

Answer 1

证明：
（1）取AB中点P，连MP，NP，
∵M为BD的中点，
∴PM∥AD，
同理NP∥BC，
∵AD∥BC，
∴N、M、P三点共线，
∴MN∥BC．

（2）法一：∵MN∥BC，N、M分别为AC、BD的中点，
∴P是AB的中点，
∴PN=BC，PM=AD，
∴MN=（BC-AD）．

法二：如图所示，连接AM并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠GBM，∠MAD=∠MGB，
又∵M为BD中点，
∴△AMD≌△GMB．
∴BG=AD，AM=MG．
在△AGC中，MN为中位线，
∴MN=GC=（BC-BG）=（BC-AD），
即MN=（BC-AD）．
分析：（1）取AB中点P，连MP，NP，证N、M、P三点共线即可；
（2）连接AM并延长，交BC于点G，证明△AMD≌△GMB，根据中位线定理即可证明；
点评：本题考查了梯形及三角形中位线定理，难度较大，关键是通过巧妙地作辅助线进行证明．