Question

设等边n边形的边长为a，面积为S，
（1）试探究等边三角形内部任一点P到三边的距离（d₁+d₂+d₃）是否为定值？如果不是，请说明理由；如果是，请证明；
（2）请进一步探究等边四边形、等边五边形、…、等边n边形内任意一点到各边的距离之和是否为定值？对此，你能获得什么规律？

Answer 1

解：（1）是定值．
证明：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．
S_△APB=a•PE，S_△CPB=a•PF，S_△APC=a•PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=a•PE+a•PF+a•PG，
即a•PE+a•PF+a•PG=S，
PE+PF+PG=，为定值．
即d₁+d₂+d₃=，为定值．

（2）同（1）中证法，等边四边形、等边五边形、…、等边n边形内任意一点到各边的距离之和均为定值，规律为d₁+d₂+d₃+…+d_n=．
分析：（1）将大正三角形化为小三角形，根据三角形面积公式解答；
（2）将正多边形化为小三角形，根据三角形面积公式解答．
点评：此题但难度不大，只要想到用面积法便可迎刃而解．