Question

在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．

(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；

(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________；

(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)四边形EGFH是平行四边形　　1分 　　证明：∵□ABCD的对角线AC、BD交于点O． 　　∴点O是□ABCD的对称中心． 　　∴EO＝FO，GO＝HO． 　　∴四边形EGFH是平行四边形　　4分 　　(2)菱形　　5分 　　(3)菱形　　6分 　　(4)四边形EGFH是正方形　　7分 　　证明：∵AC＝BD，∴□ABCD是矩形．又∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形． 　　∴□ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°．OB＝OC． 　　∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°．∴∠BOG＝∠COF． 　　∴△BOG≌△COF．∴OG＝OF，∴GH＝EF　　9分 　　由(1)知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF＝GH． 　　∴四边形EGFH是正方形　　10分