Question

如图，E是正方形ABCD的边BC的中点，F是CD上一点，DF＝3CF．

求证：AE⊥EF．

Answer 1

答案：
解析：

证明：连结AF． 　　设CF＝x，则DF＝3x，CD＝4x． 　　∵E是BC的中点， 　　∴AB＝4x，BE＝EC＝2x． 　　在Rt△ABE中， 　　AE2＝AB2＋BE2＝16x2＋4x2＝20x2． 　　在Rt△ADF中，(勾股定理) 　　AF2＝AD2＋DF2＝16x2＋9x2＝25x2． 　　在Rt△ECF中， 　　EF2＝EC2＋CF2＝4x2＋x2＝5x2． 　　∴AE2＋EF2＝20x2＋5x2＝25x2＝AF2， 　　∴△AEF是直角三角形，且∠AEF＝， 　　即AE⊥EF．(勾股定理的逆定理，常用来证明线段垂直)

提示：

点评：此题是勾股定理逆定理的典型应用，通过“计算”的方法，“算”出两条直线互相垂直．