Question

14．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD=150°时，△BED是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，从而得到BE=DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出$\frac{1}{2}$∠DEB=∠DAB，即可得出∠DAB=30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．

解答 证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC边的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，
∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°．
故答案为：150．

点评 此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出$\frac{1}{2}$∠DEB=∠DAB是解题关键．