Question

如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AM：DM=2：3，△ONC的面积为2cm²，求△AEM的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠E=∠F，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（AAS）；

（2）解：∵AB∥CD，
∴△AEM∽△DFM，
∴EM：FM=AM：DM=2：3，
∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AD∥BC，
∴∠AMO=∠CNO，
在△AOM和△CON中，
∵，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OM=ON，
即EM=FN，
设EM=2x，FM=3x，则FN=2x，OM=ON=MN=（FM-FN）=x，
∴EM：OM=2x：x=4，
∵S_△ONC=2cm²，
∴S_△OAM=2cm²，
∴S_△AEM=4S_△ONC=4×2=8（cm²）．
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB∥CD，OA=OC，由平行线的性质，可得∠E=∠F，然后由AAS即可判定△AOE≌△COF；
（2）由△AOE≌△COF，可得OE=OF，易证得△AOM≌△CON，△AEM∽△DFM，即可得OM=ON，EM：FM=AM：DM=2：3，即可得EM：OM=4，又由△ONC的面积为2cm²，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得△AEM的面积．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及三角形面积的求解方法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．