Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以点M（1，-1）为圆心，以为半径作圆，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，二次函数y=ax²+bx+c（c≠0）的图象经过点A、B、C，顶点为E．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点M（1，-1）为圆心，半径为
∴OA=1，OB=3，OC=3，OD=1，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（0，1），
设二次函数的表达式为y=a（x-x₁）（x-x²）（a≠0）
解得：a=1，x₁=-1，x₂=3，
∴二次函数表达式为y=（x+1）（x-3）
整理成一般式为y=x²-2x-3；

（2）过点E作EF⊥y轴于点F
∵B（3，0），C（0，3），
∴可得BC=3
∵点E为二次函数y=x²-2x-3的顶点
∴点E的坐标为（1，-4）
∴CE=
∵CO=BO，CF=EF，
∴∠OCB=∠ECF=45°
∴∠BCE=90°
∵在Rt△BCE中与Rt△BOD中，
tan∠OBD==，tan∠CBE==，
∴∠CBE=∠OBD=β，
∴sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC==；

（3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0）
过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得P₂（0，），
过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）
故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．
分析：（1）由点M（1，-1）为圆心，半径为，可求∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（0，1），再根据待定系数法可求二次函数表达式；
（2）过点E作EF⊥y轴于点F，在Rt△BCE中与Rt△BOD中，根据三角函数的知识可得∠CBE=∠OBD=β，进一步得到sin（α-β）的值；
（3）分三种情况：Rt△COA∽Rt△BCE；过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂；过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃；讨论得到点P的坐标．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式、以及三角函数．此题综合性很强，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．