Question

函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为________．

Answer 1

分析：设函数y=x²-ax+（a-1）与x轴的交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为|x₁-x₂|．欲求|x₁-x₂|的最小值，需要根据关于x一元二次方程
x²-ax+（a-1）=0的根与系数的关系与代数式的变形相结合求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=a²-a+1=（a-）²+，最后根据二次函数的最值的求法即可解得|x₁-x₂|的最小值．
解答：设函数y=x²-ax+（a-1）与x轴的交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），则
x₁、x₂是一元二次方程x²-ax+（a-1）=0的两个实数根，
由韦达定理得，x₁+x₂=a，x₁•x₂=（a-1），
则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=a²-a+1=（a-）²+，
∵a为任意实数，∴（a-）²≥0，
∴（x₁-x₂）²≥，
∴|x₁-x₂|≥，
∴|x₁-x₂|的最小值是，即该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为．
故答案是：．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题．利用二次函数与一元二次方程间的关系是解答此类题目常用的方法．