Question

如图，二次函数y=ax²+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的横坐标是2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值；
（3）试确定以点A为圆心，半径为的圆与直线OB的位置关系．

Answer 1

解：（1）把x=-1和x=2代入y=x+2，
得A的坐标为（-1，1），B的坐标为（2，4）．
∵A，B在二次函数y=ax²+bx的图象上，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x²；

（2）如图，设四边形OABC的面积为S，点C的坐标为（t，t²），0＜t＜2，
分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足依次为A₁，B₁，C₁，
则OA₁=1，AA₁=1，OC₁=t，C₁C=t²，B₁C₁=4-t，BB₁=4，
于是，，
=，
=-t²+2t+3，
=-（t-1）²+4，
∴当t=1时，S的最大值为4．
即四边形OABC的面积的最大值为4；

（3）可求得，
∴OA²+AB²=OB²
∴∠OAB=90°
过点A作AD⊥OB于D，
由，得
，
∵，
∴圆A与直线OB相交．
分析：（1）先求出A、B两点坐标，将A、B两点入坐标代入y=ax²+bx即可解得二次函数的表达式；
（2）设点C的坐标为（t，t²），表示出S关于t的解析式，观察解析式可知当t=1时，四边形OABC面积S取最大值；
（3）过点A作AD⊥OB于D，根据三角形的面积公式求出AD的长度，再判断AD与⊙A的半径的关系，可知圆A与直线OB相交．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和直线与圆的位置关系等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．