Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=2cm．
（1）求证：BE=AD．
（2）求PB的长．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可以得出∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC，由SAS及可以得出△ABE≌△CAD；
（2）由△ABE≌△CAD可以得出∠ABE=∠CAD，就可以求出∠BPQ=60°，根据含30度角的直角三角形的性质就可以求出结论．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC．
在△ABE和△CAD中，

AB=CA ∠BAC=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
∴BE=AD．

（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAQ，
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°．
∴∠PBQ+∠BPQ=90°，
∴∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ，
∵PQ=2cm，
∴BP=4cm．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，直角三角形的性质的运用，含30度角的直角三角形的性质运用，解答时证明三角形全等是关键．