Question

已知如图，对称轴为直线x=4的抛物线y=ax²+2x与x轴相交于点B、O．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AB，平移AB所在的直线，使其经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标．
（3）当△PAB的周长最小时，在直线AB的上方是否存在一点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形与△POB相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（规定：点Q的对应顶点不为点O）

Answer 1

解：（1）∵对称轴为直线x=-=4，
∴a=-，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x；

（2）∵y=-x²+2x=-（x²-8x+16）+4=-（x-4）²+4，
∴顶点坐标为A（4，4），
令y=0，则-x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴点B的坐标为（8，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线AB的解析式为y=-x+8，
∵直线l为直线AB平移至经过原点的直线，
∴直线l的解析式为y=-x，
如图，取点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则△PAB的周长最小，
此时，点A（-4，-4），
点P为线段A′B的中点，
∵=2，=-2，
∴点P的坐标为（2，-2）；

（3）∵直线AB的解析式为y=-x+8，
∴直线AB与x轴、对称轴的夹角的锐角为45°，
又∵l∥AB，
∴∠POB=45°，
根据勾股定理，AB==4，
PO==2，
①∠BAQ=∠POB=45°时，∵△POB∽△BAQ，
∴=，
即=，
解得AQ=16，
∴Q的横坐标为16+4=20，纵坐标为4，
∴点Q的坐标为（20，4）；
②∠ABQ=∠POB=45°时，∵△POB∽△ABQ，
∴=，
即=，
解得BQ=16，
∴点Q的坐标为（8，16），
综上所述，存在点Q（20，4）或（8，16）使以A，B，Q为顶点的三角形与△POB相似．
分析：（1）利用抛物线对称轴求出a的值，从而得解；
（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB的解析式，再根据互相平行的直线的解析式的k值相等求出直线l的解析式，再根据轴对称的性质求出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，然后根据中点公式利用点A′、B的坐标求出点P即可；
（3）根据直线l的解析式可得∠POB=45°，再求出OP、AB的长度，然后分①∠BAQ=∠POB=45°时，②∠ABQ=∠POB=45°时，根据相似三角形对应边成比例列式求出AQ的长度，从而得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线的对称轴公式，抛物线的对应点坐标，与x轴的交点坐标，利用轴对称确定最短路线问题，相似三角形对应边成比例的性质，（3）根据直线的解析式确定出45°是解题的关键，要注意分情况讨论求解．