Question

如图，在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分，∠B=90°．
求证：四边形ABCD为矩形．

Answer 1

证明：如图，连接AF、CE，
∵AC和EF互相平分，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF，AE∥CF，
∵BE=DF，
∴BE+AE=DF+CF，
即AB=CD，
∵AE∥CF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
分析：连接AF、CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等可得AE=CF，AE∥CF，然后求出AB=CD，再求出四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造出平行四边形并利用平行四边形的性质解答是解题的关键．