Question

已知：二次函数y=-x²+2x+3
（1）用配方法将函数关系式化为y=a（x-h）²+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出所给函数的图象；
（3）观察图象，指出使函数值y＞3的自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）y=-x²+2x+3=-（x²-2x）+3=-（x-1）²+4，即y=-（x-1）²+4，该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标是（1，-4）；

（2）由抛物线解析式y=-x²+2x+3知，该抛物线的开口方向向下，且与y轴的交点是（0，3）．
∵y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3），
∴该抛物线与x轴的两个交点横坐标分别是-1、3．
又由（1）知，该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标是（1，-4）；
所以其图象如图所示：

（3）根据图象知，当y＞3时，0＜x＜2．
分析：（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）根据对称轴，顶点坐标，抛物线与y轴的交点画出图象；
（3）根据图象直接回答问题．
点评：二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）²+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x₁）（x-x₂）．