Question

如图示：一副三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、CB上，
（1）在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论；
（2）若AB=CB=4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变？若不变，求出它的值；若变，求出它的取值范围．

Answer 1

解：连接BD．
（1）∵△ABC，而D是AC的中点，
∴∠C=∠ABD=45°，BD=CD，∠CDH+∠BDH=90°，
∠EDB+∠BDH=90°，
∴∠CDH=∠EDB，
∴△BDG≌△CDH，
∴BG=CH．

（2）在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，
∵△BDG≌△CDH，
∴S_{四边形GBHD}=S_△BDC，而AB=CB=4cm，
D是CA的中点，
∴S_△BDC=S_△ABC=×4×4×=4cm²，
∴S_{四边形GBHD}=4cm²．
分析：（1）BG=CH，连接BD，利用等腰直角三角形的性质可以证明△BDG≌△CDH，然后利用全等三角形的性质可以得到BG=CH；
（2）根据（1）的结论容易得到S_{四边形GBHD}=S_△BDC，而S_△BDC可以根据已知条件直接求出，所以四边形GBHD的面积就可以求出了．
点评：此题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，还有图形变换，综合性比较强．