Question

如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足

DE

CF

=

AD

BC

．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．
求证：（1）

AD

BC

=

PD

PC

；（2）△PAB∽△PDC．

Answer 1

分析：（1）接PE，PF，PG，可得△PDC∽△PEF，△PDE∽△PCF，得出对应线段成比例，再通过转化即可得出结论；
（2）由（1）中的三角形相似可得

PA

PB

= 

PD

PC

，∠DPA=∠CPB，得出∠APB=∠DPC，即可得出三角形相似．

解答：证明：（1）连接PE，PF，PG，
∵∠PDG=∠PEG，
∴∠PDC=∠PEF．
又∵∠PCG=∠PFG，
∴△PDC∽△PEF，
即

PD

PC

= 

PE

PF

，∠CPD=∠FPE从而△PDE∽△PCF，
∴

PD

PC

=

DE

CF

．
又∵

DE

CF

=

AD

BC

，
∴

AD

BC

=

PD

PC

；

（2）由于∠PDA=∠PGE=∠PCB，结合（1）知，△PDA∽△PCB，
从而有

PA

PB

= 

PD

PC

，∠DPA=∠CPB，
∴∠APB=∠DPC，
∴△PAB∽△PDC．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，题中涉及一部分圆的有关知识，能够熟练掌握．