Question

已知抛物线y=x²+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：分别把A（1，0）、B（3，0）两点坐标代入y=x²+bx+c得到关于b、c的方程组，
解之得：b=-4，c=3，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2；

（2）证明：抛物线的解析式为y=x²-4x+3，
当x=0时，y=3
∴C点坐标为（0，3），
而y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线顶点D点坐标为（2，-1）．
∴tan∠DOF=；
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，
∴F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE．
∵△OBC是等腰直角三角形，OE⊥BC，
∴∠EOB=45°，而OF=2，EF⊥OB，
∴EF=2，
∴E点坐标为（2，2），
∴tan∠ABE=2，
∴∠DAF≠∠ABE，
∴DO与EB不平行．
而△DFB也是等腰直角三角形，
∴∠BOE=∠OBD=45°，
∴OE∥BD，
∴四边形ODBE是梯形．
在Rt△ODF和Rt△EBF中，
OD=，BE=，
∴OD=BE，
∴四边形ODBE是等腰梯形．

（3）解：存在．理由如下：
由题意得：S_{四边形ODBE}=．
设点Q坐标为（x，y）．
由题意得：S_三角形OBQ=，S_{四边形ODBE}=，
∴y=±1．
当y=1时，即x²-4x+3=1，
∴，，
∴Q点坐标为（2+，1）或（2-，1）
当y=-1时，即x²-4x+3=-1，
∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1），即为顶点D．
综上所述，抛物线上存在三点Q₁（2+，1），Q₂（2-，1），Q₃（2，-1）．
使得S_三角形OBQ=S_{四边形ODBE}．
分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；
（2）设抛物线的对称轴DE与x轴的交点为F，根据抛物线的对称轴方程即可求得F点的坐标；根据抛物线的解析式可求出C、D的坐标，即可证得△OBC、△BDF都是等腰直角三角形，那么∠DBF=∠CBA=∠EOB=45°，由此可证得OE∥BD，然后再根据O、D、B、E四点坐标求出OD、BE的长，即可证得所求的结论；
（3）首先求出四边形ODBE的面积，进而可得到△OBQ的面积，由于OB的长为定值，根据△OBQ的面积即可确定Q点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求得Q点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定以及图形面积的求法等知识的综合应用能力．