Question

如图1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD边上的一点，DE=16，M是BC边上的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1单位长度的速度向终点B运动．设动点P的运动时间是t秒；

（1）求线段AE的长；
（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；
（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．
①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；
②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．

Answer 1

解：（1）∵ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴AE²=AD²+DE²，
∵AD=12，DE=16，
∴AE=20，

（2）∵∠D=∠B=90°，
∴△ADE与△PBM相似时，有两种可能；
当∠DAE=∠PMB时，有=，即=，
解得：t=13；
当∠DAE=∠MPB时，有=，即=，
解得t=；

（3）①∵△ADE∽△PHA，
∴，
∴==，
∴PH=t，HA=t，
∵S_△EHP=S_△EMP，
∴×t×（20-t）=×12×（5+21-t）-×6×（21-t）-×6×5，
解得：t=，
∵0＜t＜21，
∴t=；
②根据题意得：≤t≤20．
分析：（1）根据ABCD是矩形，得出∠D=90°，再由勾股定理即可求出AE的值；
（2）根据已知∠D=∠B=90°，即可求出△ADE与△PBM相似时，再分两种情况进行讨论；当∠DAE=∠PMB时有=，
解出t的值和当∠DAE=∠MPB时有=得出t的值；
（3）①根据题意得出S_△EHP=S_△EMP，求出t的两个值，再根据t的取值范围即可求出t的值；②根据PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′直接写出t的取值范围即可；
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据勾股定理、相似三角形的判定和性质的综合应用，要注意的是（2）中，有两种情况进行分类求解．