Question

已知正方形边长为2，点M是AB中点，P为AM上一动点（P不与A、M重合）以BC为直径作⊙O，过P作PE切⊙O于F，交CD于E。（如图1）

（1）求四边形APED的周长；
（2）求BP·CE的值；
（3）如图2，延长DA、EP交于G，连结OF并延长交AD于H，若△EFO∽△HFG，试求PE的长。

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD，并且PE是圆的切线，
∴AB=AD=CD=2，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴PB=PF，EC=EF，
∴四边形APED周长=AP+PE+ED+AD=AP+PB+EC+DE+AD=AB+CD+AD=6；
（2）连结OP、OE，
∵PE是圆的切线，
∴OP平分∠BPE、OE平分∠CEP，
∵AB∥CD，
∴∠BPE+∠CEP=180°，
∴∠OPE+∠OEP=90°，即∠POE=90°，
∴△OBP∽△ECO，
∴，
∴PB·CE=OB·OC=1即：BP·CE=1；
（3）连结OP，
∵△EFO∽△HFG，
∴∠G=∠EOF=∠EOC，
∵AD∥BC，
∴∠GHO=∠COF=2∠EOF=2∠G，
又∵OH⊥EG，
∴∠G=∠EOF=∠EOC=30°，
可求得EC=EF=，BP=PF=，
∴PE=。