Question

如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的圆上，且∠AED=45°，过点D作直线CD∥AB
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线BF交直线CD于点F，若⊙O半径为5cm，求梯形ABFD的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图所示：
∵∠AOD和∠AED分别为所对的圆心角和圆周角，且∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，即OD⊥AB，
∵AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴DC为⊙O的切线；

（2）解：∵BF切⊙O于点B，
∴BF⊥AB，即∠ABF=90°
由（1）得：∠BOD=∠ODC=90°，
∴四边形OBFD为矩形，又OD=OB，
∴四边形OBFD为正方形，
∴DF=OB=FB=OD=5cm，AB=2OB=10cm，
∴S_梯形ABFD=（FD+AB）•OD
=（5+10）×5=cm²．
分析：（1）连接OD，根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由∠AED的度数乘以2可得圆心角∠AOD为直角，再根据AB与DC平行，根据两直线平行，同旁内角互补可得OD与DC垂直，即可得到DC为圆的切线；
（2）由BF为圆的切线，根据切线的性质可得∠ABF为直角，再由第一问得到的∠BOD和∠ODF都为直角，根据三个角为直角的四边形为矩形可得OBFD为矩形，又根据半径OD=OB，即邻边相等，可得OBFD为正方形，且边长为半径的值，进而得到上底DF，高FB及下底AB的长，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABFD的面积．
点评：此题考查了切线的性质与判定，平行线的性质，以及正方形的判定与性质，在证明切线时，有点连接圆心与此点，证明垂直可得切线；无点作垂线，证明垂线段等于半径可得切线，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．