Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，点O是线段AD上一点，线段BO的延长线交边AC于点F，线段CO的延长线交边AB于点E．
（1）说明△ABC是等腰三角形的理由．
（2）说明BF=CE的理由．

Answer 1

解：（1）因为AD⊥BC，
所以∠ADB=∠ADC，
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD，
因为∠ADB=∠DAC+∠ACD，∠ADC=∠BAD+∠ABD，
所以∠ABD=∠ACD，
所以AB=AC，
即△ABC是等腰三角形．

（2）因为△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
所以BD=CD，
在△BDO与△CDO中，
，
所以△OBD≌△OCD，
所以∠OBD=∠OCD，
在△BEC与△CFB中，
，
所以△BEC≌△CFB，
所以BF=CE．
分析：（1）根据AD⊥BC，得出∠ADB=∠ADC，再根据角平分线的性质得出∠BAD=∠CAD，从而求出∠ABD=∠ACD，AB=AC，即可证出△ABC是等腰三角形．
（2）根据△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，得出BD=CD，证出△OBD≌△OCD，从而得出∠OBD=∠OCD，再根据角边角证出△BEC≌△CFB，得出BF=CE．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是等腰三角形及全等三角形的判定与性质，解题时要注意对等腰三角形和全等三角形的性质的综合应用．