Question

已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）。
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，当0＜a＜1时，求证：S₁-S₂为常数，并求出该常数。

Answer 1

解：（1）把C（0，1）代入抛物线得：0=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1；
（2）把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=-1-a，ax²+bx+1=0，
b²-4ac=（-1-a）²-4a=a²-2a+1＞0，
∴a≠1且a＞0，
答：a的取值范围是a≠1且a＞0；
（3）证明：∵0＜a＜1，
∴B在A的右边，设A（a，0），B（b，0），
∵ax²+（-1-a）x+1=0，
由根与系数的关系得：a+b=，ab=，
∴AB=b-a==，
把y=1代入抛物线得：ax²+（-1-a）x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=，
∴CD=，
过P作MN⊥CD于M，交X轴于N，则MN⊥X轴，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴，
∴，
∴PN=，PM=，
∴S₁-S₂==1，
即不论a为何只，S₁-S₂的值都是常数，
答：这个常数是1。