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    作业宝在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．
    （1）求证：DF=EF；
    （2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；
    （3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．

    （1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
    ∴∠BEC=∠BDC=90°，
    而F为BC上的中点，
    ∴EF=BC，DF=BC，
    ∴DF=EF；

    （2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；

    （3）△ADE∽△ACB．理由如下：
    证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
    而∠BAE=∠CAD，
    ∴△ABE∽△ACD，
    ∴=，
    ∵∠DAE=∠CAB，
    ∴△ADE∽△ACB．
    分析：（1）由CD⊥AB，BE⊥AC得∠BEC=∠BDC=90°，而F为BC上的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到结论；
    （2）DC与BE交于P点，相似三角形有：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；
    （3）易得△ABE∽△ACD，则=，加上∠DAE=∠CAB，所以△ADE∽△ACB．
    点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的性质．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．
    （1）求证：DF=EF；
    （2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；
    （3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•河池）如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．
    （1）求证：△ABD≌△FBC；
    （2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；
    （3）在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2．在任意△ABC中，c2=a2+b2+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
    ●操作发现：
    在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
    ①②③④
    ①②③④
    （填序号即可）
    ①AF=AG=
    12
    AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．
    ●数学思考：
    在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
    ●类比探究：
    在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：
    等腰直角三角形
    等腰直角三角形
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•南昌）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
    （1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
    ①②③④
    ①②③④
    （填序号即可）
    ①AF=AG=
    12
    AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
    （2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
    （3）类比探究：
    （i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：
    等腰直角三角形
    等腰直角三角形
    ．
    （ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．

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