Question

如图，直线l₁：y₁=-x+1与x轴、y轴交于A、E两点，直线l₂：y₂=x-3与x轴、y轴交于B、D两点，直线l₁与直线l₂相交于点C，
（1）求点C的坐标；
（2）x取何值的时候，y₁＞y₂；
（3）连接EB，求△EBC的面积；
（4）将△EBC以直线l₂为对称轴作轴对称变换，点E的对称点E′，求点E′的坐标．

Answer 1

解：（1）解方程组得，
所以点C的坐标为（2，-1）；

（2）当x＜2时，y₁＞y₂；

（3）B点坐标为（0，3），E点坐标为（0，1），A点坐标为（1，0），
所以△EBC的面积=S_△EAC+S_△CAB=×1×2+×1×2=2；

（3）D点坐标为（0，-3），
则OB=OD，OA=OE，
所以△OBD和△OAE都是等腰直角三角形，
所以∠OAE=45°，∠OBD=45°，
则∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∴以直线l₂为对称轴作轴对称变换，点E的对称点E′在直线y=-x+1上，
设点E′的坐标为（x，-x+1），作E′F⊥x于F点，
∴BE²=BE′²=OE²+OB²=1+9=10，
而FB=x-3，FE′=-x+1，
在Rt△BE′F中，BE′²=E′F²+BF²，
∴（-x+1）²+（x-3）²=10，解得x₁=4，x₂=0（舍去），
∴点E′的坐标为（4，-3）．
分析：（1）把两直线的解析式组成方程组，则方程组的解为C点坐标；
（2）观察函数图象得到当x＜2时，y₁都在y₂的上方；
（3）先确定B点坐标为（0，3），E点坐标为（0，1），A点坐标为（1，0），然后根据三角形面积公式和△EBC的面积=S_△EAC+S_△CAB进行计算；
（4）先确定△OBD和△OAE都是等腰直角三角形，可得到∠ACB=90°，则点E的对称点E′在直线y=-x+1上，作E′F⊥x于F点，设点E′的坐标为（x，-x+1），
再利用勾股定理计算出BE，则利用对称的性质可得到BE′的长，然后再Rt△BE′F中运用勾股定理得到关于x的方程，解方程可确定E′的坐标．
点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．也考查了轴对称以及勾股定理．