Question

如图（1），在平面直角坐标系中，Rt△ABC的AC边与x轴重合，且点A在原点， ∠ACB=90°，∠BAC=60°AC=2，；又一直径为2的⊙D与x轴切于点E（1，0）； （1）若Rt△ABC沿x轴正方向移动，当斜边AB与⊙O相切时，试写出此时点A的坐标； （2）当Rt△ABC的边BC移动到与y轴重合时，则把Rt△ACB绕原点O按逆时针方向旋转，使斜边AB恰好经过点F（0，2），得Rt△A'B'O，AB分别与A'O、A'B'相交于M、N， 如图（2）所示。 ① 求旋转角∠AOA′的度数。 ② 求四边形FOMN的面积。（结果保留根号）

Answer 1

解：（1） 当在左边相切时，∠OA′G=∠COB=60°， ∴∠DA'G=∠DA'E=60°， ∴A'E=  ，此时点A坐标为（1- ，0）， 同理，当在右边相切时，A''E= ， 此时点A''的坐标为（1+ ，0）． 综上可得A（1-  ，0）或A（1+ ，0）； （2） ① ∵ Rt△ACB旋转得Rt△A'B'O，                ∴ Rt△ACB≌Rt△A'B'O                ∴ ∠A=∠A'=60° AO=A′O                 ∵ OF=OA=2                ∴ △A′OF是等边三角形                ∴ ∠A'OF=60°                 ∴ ∠AOA′=30° ② ∵ △ANO中，∠OAN=60°∠AOA′=30° ∴∠ANO=90° ∴ A′N=A′O-NO=2-  ∴ S△AMN= 过点F作FG⊥OA′于G， 则 FG= ∴ S△FOA′= ∴ SFOMN= S△FOA′-S△AMN= ∴ 四边形FOMN的面积是（6-）平方单位