Question

已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动。

（1）求梯形ODPC的面积S与时间t的函数关系式。
（2）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（3）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形。若存在求t值，若不存在，说明理由。
（4）当△OPD为等腰三角形时，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）由题意仪，根据梯形的面积公式，得
s==2t+10；
（2）∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴t=5；
（3）∵ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=3
∴t=3；
（4）当P₁O=OD=5时，由勾股定理可以求得P₁C=3，
P₂O=P₂D时，作P₂E⊥OA，
∴OE=OD=2.5；
当P₃D=OD=5时，
作DF⊥BC，
由勾股定理，得P₃F=3，
∴P₃C=2；
当P₄D=OD=5时，作P₄G⊥OA，
由勾股定理，得DG=3，
∴OG=8
∴P₁（3，4），P₂（2，4），P₃（2.5，4），P₄（8，4）。