Question

4．如图，在矩形OABC纸片中，OA=7，OC=5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y=-x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G．
（1）求点E、F的坐标；
（2）求经过E、F、G三点的抛物线的解析式；
（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）可以设点E的坐标为（x，-x+7），由OE=OC=5可得$\sqrt{{x}^{2}+（-x+7）^{2}}$=5，解方程即可解决问题．
（2）求出点G坐标，设经过E、F、G三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把E、F、G三点坐标代入，转化为解方程组即可．
（3）设点D的坐标为（m，5）（m＞0），则CD=m，由ED=CD或FD=CD，可得$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-5）^{2}}$=m，或$\sqrt{（4-m）^{2}+（3-5）^{2}}$=m，解方程即可．

解答 解：（1）∵点E在直线y=-x+7上，
∴可以设点E的坐标为（x，-x+7），
∵OE=OC=5，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（-x+7）^{2}}$=5，
解得x=3或4，
∴点E的坐标为（3，4），点F的坐标为（4，3）．

（2）∵OG=OC=5，且点G在x坐标轴上，
∴G（5，0），
设经过E、F、G三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=4}\\{16a+4b+c=3}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴经过E、F、G三点的抛物线的解析式为y=-x²+6x-5．

（3）∵BC∥x轴，且OC=5，
∴设点D的坐标为（m，5）（m＞0），则CD=m，
∵ED=CD或FD=CD，
∴$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-5）^{2}}$=m，或$\sqrt{（4-m）^{2}+（3-5）^{2}}$=m，
解得m=$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$，
∴当点C的对应点落在直线l上时，CD的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、矩形的性质、一次函数的应用、两点间距离公式、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．